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Relaciones de ordenamiento parcial – javatpoint

octubre 16, 2021

Una relación R en un conjunto A se llama relación de orden parcial si satisface las siguientes tres propiedades:

  1. La relación R es reflexiva, es decir, aRa ∀ a∈A.
  2. La relación R es antisimétrica, es decir, aRb y bRa ⟹ a = b.
  3. La relación R es transitiva, es decir, aRb y bRc ⟹ aRc.

Ejemplo 1: Muestre si la relación (x, y) ∈ R, if, x ≥ y definida en el conjunto de + ve enteros es una relación de orden parcial.

Solución: Considere el conjunto A = {1, 2, 3, 4} que contiene cuatro + ve enteros. Encuentre la relación para este conjunto como R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}.

Reflexivo: La relación es reflexiva como para todo a ∈ A. (a, a) ∈ R, es decir (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) ∈ R.

Antisimétrico: La relación es antisimétrica ya que siempre que (a, b) y (b, a) ∈ R, tenemos a = b.

Transitivo: La relación es transitiva ya que siempre que (a, b) y (b, c) ∈ R, tenemos (a, c) ∈ R.

Ejemplo: (4, 2) ∈ R y (2, 1) ∈ R, implica (4, 1) ∈ R.

Como la relación es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Por tanto, es una relación de orden parcial.

Ejemplo 2: Demuestre que la relación ‘Divide’ definida en N es una relación de orden parcial.

Solución:

Reflexivo: Tenemos un divide a, ∀ a∈N. Por tanto, la relación ‘Divide’ es reflexiva.

Antisimétrico: Sea a, b, c ∈N, tal que a divide a b. Implica que b divide a sif a = b. Entonces, la relación es antisimétrica.

Transitivo: Sea a, b, c ∈N, tal que a divide a b y b divide a c.

Entonces a divide c. Por tanto, la relación es transitiva. Así, siendo la relación reflexiva, antisimétrica y transitiva, la relación «divide» es una relación de orden parcial.

Ejemplo 3: (a) La relación ⊆ de un conjunto de inclusión es un ordenamiento parcial o cualquier colección de conjuntos, ya que la inclusión de conjuntos tiene tres propiedades deseadas:

  1. A ⊆ A para cualquier conjunto A.
  2. Si A ⊆ B y B ⊆ A entonces B = A.
  3. Si A ⊆ B y B ⊆ C entonces A ⊆ C

(b) La relación ≤ en el conjunto R de no real que es Reflexivo, Antisimétrico y Transitivo.

(c) La relación ≤ es una relación de orden parcial.

Relaciones n-Ary

Por una relación n-aria, nos referimos a un conjunto de n-tuplas ordenadas. Para cualquier conjunto S, un subconjunto del conjunto de productos Snorte se llama una relación n-aria en S. En particular, un subconjunto de S3 se llama relación ternaria en S.

Conjunto de pedido parcial (POSET):

El conjunto A junto con una relación de orden parcial R en el conjunto A y se denota por (A, R) se denomina conjunto de órdenes parciales o POSET.

Relación total de pedidos

Considere la relación R en el conjunto A. Si también se llama el caso de que para todo, a, b ∈ A, tenemos (a, b) ∈ R o (b, a) ∈ R o a = b, entonces la relación R es una relación de orden total conocida en el conjunto A.

Ejemplo: Demuestre que la relación ‘

Solución:

Reflexivo: Sea a ∈ N, luego a ⟹ ‘

Como, la relación ‘

Pero, como ∀ a, b ∈ N, tenemos un

Clase de equivalencia

Considere, una relación de equivalencia R en un conjunto A. La clase de equivalencia de un elemento a ∈ A, es el conjunto de elementos de A con los que el elemento a está relacionado. Se denota por [a].

Ejemplo: Sea R una relación de equivalencia en el conjunto A = {4, 5, 6, 7} definido por
R = {(4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (4, 6), (6, 4)}.

Determine sus clases de equivalencia.

Solución: Las clases de equivalencia son las siguientes:
{4} = {6} = {4, 6}
{5} = {5}
{7} = {7}.

Relación circular

Considere una relación binaria R en un conjunto A. La relación R se llama circular si (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ R implica (c, a) ∈ R.

Ejemplo: Considere que R es una relación de equivalencia. Demuestre que R es reflexivo y circular.

Solución: Reflexivo: Como, la relación, R es una relación de equivalencia. Entonces, la reflexividad es propiedad de una relación de equivalencia. Por tanto, R es reflexivo.

Circular: Sean (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ R
⇒ (a, c) ∈ R (∵ R es transitivo)
⇒ (c, a) ∈ R (∵ R es simétrico)

Por tanto, R es circular.

Relación compatible

Una relación binaria R en un conjunto A que es reflexiva y simétrica se llama relación compatible.

Toda relación de equivalencia es compatible, pero no es necesario que toda relación compatible sea una equivalencia.

Ejemplo: El conjunto de un amigo es compatible, pero puede que no sea una relación de equivalencia.

Amigo amigo
a → b, b → c, pero es posible que ayc no sean amigos.


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