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Cálculo de normas P vectoriales – Álgebra lineal para ciencia de datos -IV

Cálculo de normas P vectoriales – Álgebra lineal para ciencia de datos -IV

Principios matemáticos que sustentan los métodos de regularización en Machine Learning

Harshit Tyagi

5 de septiembre de 2020·6 min de lectura

¿Qué son las normas vectoriales?

Las normas vectoriales son funciones que asignan un vector a un valor positivo que es la magnitud del vector o la longitud del vector. Ahora bien, existen diferentes funciones que nos ofrecen diferentes formas de calcular las longitudes de los vectores.

¿Por qué conocer las Normas?

Las normas son un concepto muy importante en machine learning y deep learning que generalmente se utiliza para calcular el error en las predicciones de un modelo ML / DL.

Características de las funciones Norm

Las normas son funciones que se caracterizan por las siguientes propiedades:

  1. Las normas son 0 si y solo si el vector es un vector cero.
  2. Las normas siguen la desigualdad del triángulo, es decir, la norma de la suma de dos (o más) vectores es menor o igual que la suma de las normas de los vectores individuales. Simplemente establece que geométricamente, el camino más corto entre dos puntos es una línea.
    Representado por la ecuación:
    ∥a + b∥≤∥a∥ + ∥b∥
    donde ayb son dos vectores y las barras verticales ∥ generalmente denotan la norma.
  3. La norma de un vector multiplicada por un escalar es igual al valor absoluto de este escalar multiplicado por la norma del vector.
    Representando la ecuación: ∥k⋅X∥ = | k | ⋅∥X

Pasos para calcular las normas P

El cálculo de una norma P se basa en la fórmula central:

  1. Eleva estos valores absolutos a una potencia pag.
  2. Calcule la suma de todos estos valores absolutos elevados.
  3. Consigue el pagₜₕ arraigue o aumente la potencia a 1 / p sobre el resultado del paso anterior.

Norma L⁰

Poniendo p = 0 en la fórmula nos dará la norma L⁰.

Norma L¹

Poniendo p = 1 nos da la norma L¹. Básicamente, la fórmula estaría calculando la suma de los valores absolutos del vector.

Código Python

Podemos obtener la norma L¹ usando el módulo de álgebra lineal del paquete Numpy que ofrece un método norm (). De forma predeterminada, la función de norma está configurada para calcular la norma L2, pero podemos pasar el valor de p como argumento. Entonces, para la norma L¹, le pasaremos 1:

from numpy import linalg#creating a vector
a = np.array([1,2,3])
#calculating L¹ norm
linalg.norm(a, 1)
##output: 6.0

Norma L²

Poniendo p = 2 nos consigue la norma L². La fórmula sería calcular la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los valores del vector.

Código Python

Nuevamente, usando la misma función de norma, podemos calcular la Norma L²:

norm(a) # or you can pass 2 like this: norm(a,2)## output: 3.7416573867739413

Norma L² al cuadrado

∑ᵢ | xᵢ | ²

Código Python

Verifiquemos esto en el código de Python:

x = np.array([[1], [3], [5], [7]])
euclideanNorm = x.T.dot(x)
## output: array([[84]])np.linalg.norm(x)**2
##ouput: 84.0

La norma máxima

Esta es la norma L∞ que simplemente devuelve el valor absoluto del elemento más grande del vector.

Código Python

Verifiquemos esto en el código de Python, simplemente necesitaremos pasar infinito a la función de norma:

x = np.array([[1], [3], [5], [7]])
norm(x, np.inf)
##output: 7.0

Colaboratorio de Google

Calcular normas

colab.research.google.com

Visualizaciones gráficas

Intentemos analizar las gráficas gráficamente. He usado la misma fórmula en 2 dimensiones (x, y) y la 3ª dimensión representa la norma en sí.

Norma L¹

Creado usando https://academo.org/demos/3d-surface-plotter/

Norma L²

1*EinGdFYkuUFmHWOcDTFM7w

https://academo.org/demos/3d-surface-plotter/

Norma L² al cuadrado

1*r9eS1lzD0RtBMcbUMSVNVQ

https://academo.org/demos/3d-surface-plotter/

Resumen

En este tutorial, analizamos diferentes formas de calcular longitudes o magnitudes vectoriales, llamadas normas vectoriales.

  • calcule la norma L2 que se calcula como la raíz cuadrada de la suma de los valores del vector al cuadrado.
  • Calcule la norma máxima que se calcula como los valores máximos del vector.

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