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Amplitud modulada

base band signal

Una onda continua pasa continuamente sin intervalos y es la señal del mensaje de banda base la que contiene la información. Esta onda debe modularse.

Según la definición estándar, «La amplitud de la señal portadora varía de acuerdo con la amplitud instantánea de la señal moduladora». Lo que significa que la amplitud de la señal portadora que no contiene información varía según la amplitud de la señal que contiene información, en cada instante. Esto se puede explicar bien con las siguientes figuras.

Señal de banda base

Señal portadora

Onda modulada AM

La primera figura muestra la onda moduladora, que es la señal del mensaje. La siguiente es la onda portadora, que es una señal de alta frecuencia y no contiene información. Mientras, el último es la onda modulada resultante.

Se puede observar que los picos positivos y negativos de la onda portadora, están interconectados con una línea imaginaria. Esta línea ayuda a recrear la forma exacta de la señal moduladora. Esta línea imaginaria en la onda portadora se llama Sobre. Es el mismo que el de la señal de mensaje.

Expresiones Matemáticas

A continuación se muestran las expresiones matemáticas para estas ondas.

Representación de las ondas en el dominio del tiempo

Sea la señal moduladora,

$$ m left (t right) = A_m cos left (2 pi f_mt right) $$

y la señal portadora sea,

$$ c left (t right) = A_c cos left (2 pi f_ct right) $$

Dónde,

$ A_m $ y $ A_c $ son la amplitud de la señal moduladora y la señal portadora respectivamente.

$ f_m $ y $ f_c $ son la frecuencia de la señal moduladora y la señal portadora respectivamente.

Entonces, la ecuación de onda modulada en amplitud será

$ s

Índice de modulación

Una onda portadora, después de ser modulada, si se calcula el nivel modulado, dicho intento se denomina como Índice de modulación o Profundidad de modulación. Indica el nivel de modulación que experimenta una onda portadora.

Reorganice la Ecuación 1 como se muestra a continuación.

$ s

$ Rightarrow s left (t right) = A_c left [ 1 + mu cos left ( 2 pi f_m t right ) right ] cos left (2 pi f_ct right) $ (Ecuación 2)

Donde, $ mu $ es el índice de modulación y es igual a la relación de $ A_m $ y $ A_c $. Matemáticamente, podemos escribirlo como

$ mu = frac {A_m} {A_c} $ (Ecuación 3)

Por lo tanto, podemos calcular el valor del índice de modulación utilizando la fórmula anterior, cuando se conocen las amplitudes del mensaje y las señales portadoras.

Ahora, derivemos una fórmula más para el índice de modulación considerando la ecuación 1. Podemos usar esta fórmula para calcular el valor del índice de modulación, cuando se conocen las amplitudes máxima y mínima de la onda modulada.

Sean $ A_ max $ y $ A_ min $ las amplitudes máxima y mínima de la onda modulada.

Obtendremos la amplitud máxima de la onda modulada, cuando $ cos left (2 pi f_mt right) $ es 1.

$ Flecha derecha A_ max = A_c + A_m $ (Ecuación 4)

Obtendremos la amplitud mínima de la onda modulada, cuando $ cos left (2 pi f_mt right) $ es -1.

$ Flecha derecha A_ min = A_c – A_m $ (Ecuación 5)

Sume la ecuación 4 y la ecuación 5.

$$ A_ max + A_ min = A_c + A_m + A_c-A_m = 2A_c $$

$ Flecha derecha A_c = frac {A_ max + A_ min} {2} $ (Ecuación 6)

Reste la ecuación 5 de la ecuación 4.

$$ A_ max – A_ min = A_c + A_m – left (A_c -A_m right) = 2A_m $$

$ Flecha derecha A_m = frac {A_ max – A_ min} {2} $ (Ecuación 7)

La razón de la Ecuación 7 y la Ecuación 6 será la siguiente.

$$ frac {A_m} {A_c} = frac { left (A_ {max} – A_ {min} right) / 2} { left (A_ {max} + A_ {min} right) / 2 } $$

$ Flecha derecha mu = frac {A_ max – A_ min} {A_ max + A_ min} $ (Ecuación 8)

Por lo tanto, la Ecuación 3 y la Ecuación 8 son las dos fórmulas para el índice de modulación. El índice de modulación o la profundidad de modulación a menudo se denota en porcentaje llamado porcentaje de modulación. Obtendremos el porcentaje de modulación, simplemente multiplicando el valor del índice de modulación por 100.

Para una modulación perfecta, el valor del índice de modulación debe ser 1, lo que implica que el porcentaje de modulación debe ser del 100%.

Por ejemplo, si este valor es menor que 1, es decir, el índice de modulación es 0.5, entonces la salida modulada se vería como la siguiente figura. Se llama como Submodulación. Tal ola se llama como onda submodulada.

Bajo onda modulada

Si el valor del índice de modulación es mayor que 1, es decir, 1,5 más o menos, entonces la onda será un onda sobremodulada. Se vería como la siguiente figura.

Sobre onda modulada

A medida que aumenta el valor del índice de modulación, la portadora experimenta un 180o inversión de fase, que provoca bandas laterales adicionales y, por tanto, la onda se distorsiona. Una onda sobremodulada de este tipo provoca interferencias que no pueden eliminarse.

Ancho de banda de la onda AM

Banda ancha (BW) es la diferencia entre las frecuencias más alta y más baja de la señal. Matemáticamente, podemos escribirlo como

$$ BW = f_ {max} – f_ {min} $$

Considere la siguiente ecuación de onda modulada en amplitud.

$$ s left (t right) = A_c left [ 1 + mu cos left ( 2 pi f_m t right ) right ] cos left (2 pi f_ct right) $$

$$ Rightarrow s left (t right) = A_c cos left (2 pi f_ct right) + A_c mu cos (2 pi f_ct) cos left (2 pi f_mt right) $$

$ Rightarrow s left (t right) = A_c cos left (2 pi f_ct right) + frac {A_c mu} {2} cos left [ 2pi left ( f_c+f_m right ) tright ]+ frac {A_c mu} {2} cos left [ 2pi left ( f_c-f_m right ) tright ]PS

Por tanto, la onda modulada en amplitud tiene tres frecuencias. Esos son la frecuencia portadora $ f_c $, la frecuencia de banda lateral superior $ f_c + f_m $ y la frecuencia de banda lateral inferior $ f_c-f_m $

Aquí,

$ f_ {max} = f_c + f_m $ y $ f_ {min} = f_c-f_m $

Sustituya los valores $ f_ {max} $ y $ f_ {min} $ en la fórmula del ancho de banda.

$$ BW = f_c + f_m- left (f_c-f_m right) $$

$$ Flecha derecha BW = 2f_m $$

Por tanto, se puede decir que el ancho de banda requerido para la onda modulada en amplitud es el doble de la frecuencia de la señal moduladora.

Cálculos de potencia de onda AM

Considere la siguiente ecuación de onda modulada en amplitud.

$ s left (t right) = A_c cos left (2 pi f_ct right) + frac {A_c mu} {2} cos left [ 2pi left ( f_c+f_m right ) tright ]+ frac {A_c mu} {2} cos left [ 2pi left ( f_c-f_m right ) tright ]PS

La potencia de la onda AM es igual a la suma de las potencias de los componentes de frecuencia de la portadora, la banda lateral superior y la banda lateral inferior.

$$ P_t = P_c + P_ {USB} + P_ {LSB} $$

Sabemos que la fórmula estándar para la potencia de la señal cos es

$$ P = frac {{v_ {rms}} ^ {2}} {R} = frac { left (v_m / sqrt {2} right) ^ 2} {2} $$

Dónde,

$ v_ {rms} $ es el valor rms de la señal cos.

$ v_m $ es el valor máximo de la señal cos.

Primero, encontremos los poderes del portador, la banda lateral superior e inferior uno por uno.

Poder del portador

$$ P_c = frac { left (A_c / sqrt {2} right) ^ 2} {R} = frac {{A_ {c}} ^ {2}} {2R} $$

Potencia de banda lateral superior

$$ P_ {USB} = frac { left (A_c mu / 2 sqrt {2} right) ^ 2} {R} = frac {{A_ {c}} ^ {2} {_ { mu}} ^ {2}} {8R} $$

Del mismo modo, obtendremos la potencia de la banda lateral inferior igual que la potencia de la banda lateral superior.

$$ P_ {LSB} = frac {{A_ {c}} ^ {2} {_ { mu}} ^ {2}} {8R} $$

Ahora, agreguemos estos tres poderes para obtener el poder de la onda AM.

$$ P_t = frac {{A_ {c}} ^ {2}} {2R} + frac {{A_ {c}} ^ {2} {_ { mu}} ^ {2}} {8R} + frac {{A_ {c}} ^ {2} {_ { mu}} ^ {2}} {8R} $$

$$ Rightarrow P_t = left ( frac {{A_ {c}} ^ {2}} {2R} right) left (1+ frac { mu ^ 2} {4} + frac { mu ^ 2} {4} right) $$

$$ Rightarrow P_t = P_c left (1+ frac { mu ^ 2} {2} right) $$

Podemos usar la fórmula anterior para calcular la potencia de la onda AM, cuando se conocen la potencia de la portadora y el índice de modulación.

Si el índice de modulación $ mu = 1 $ entonces la potencia de la onda AM es igual a 1,5 veces la potencia de la portadora. Entonces, la potencia requerida para transmitir una onda AM es 1.5 veces la potencia de la portadora para una modulación perfecta.

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