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La interpretación geométrica de líneas y planos 3D.

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La interpretación geométrica de líneas y planos 3D.

Valentina Alto

22 de agosto de 2019·6 min de lectura

El álgebra lineal es esa rama del cálculo cuyos objetos viven más allá de ℝ. Esos objetos pueden ser coordenadas en los espacios (por lo tanto, puntos) o combinaciones de puntos en forma de ecuaciones multivariadas.

Cada vez que trabajamos con más de 3 dimensiones, físicamente no es posible visualizar nuestros objetos. Por lo tanto, en este artículo voy a proporcionar una interpretación geométrica de puntos, líneas y planos en un ambiente 3D, para que pueda extender esos conceptos a dimensiones más altas.

Generalmente hablando, n es un espacio de coordenadas, o un conjunto de coordenadas, cada uno con norte componentes. En consecuencia, mientras trabajamos en ℝ3, nuestras coordenadas se verán así:

Cada coordenada se puede representar en el espacio como un punto o como un vector:

Finalmente, una propiedad muy importante de esos objetos es la ortogonalidad: de hecho, se dice que dos conjuntos de coordenadas / vectores son ortogonales (lo que significa perpendiculares) si su producto interno es igual a 0. En nuestro caso:

Ahora bien, ¿cómo podemos representar líneas rectas y planos en nuestro espacio 3D?

Lineas rectas

Una línea recta es un objeto infinito sin ancho y caracterizado por una dirección v. Comencemos con un ejemplo sencillo de una línea que cruza el origen de nuestros ejes. Consideremos una línea r con direccion v. Queremos calcular la ecuación genérica de esa línea para un punto genérico pag. La idea es que necesitamos estirar nuestro vector v hasta el punto pag. Para ello utilizaremos el llamado coeficiente de estiramiento t:

Básicamente, tener el vector v como unidad de medida, podemos estirar (o acortar) nuestro vector v hacia la misma dirección (si t> 0) o hacia la opuesta (si t <0). Por lo tanto, tenemos la siguiente ecuación para un punto genérico que se encuentra en r:

Esta fórmula se llama expresión paramétrica de una línea recta. Es una expresión dinámica ya que describe una línea recta en un sistema de referencia y depende de t. Es decir, si t = tiempo, tenemos un punto de partida (t = 0), entonces algo que sucederá en el futuro (t> 0) y algo que ya sucedió en el pasado (t <0).

Ahora, imagina que queremos definir una línea que no pase por el origen de nuestros ejes, pero que siempre tenga dirección v. Ahora pasará por un punto determinado. q. Entonces queremos calcular la ecuación genérica de la línea roja en la siguiente imagen:

Si recordamos por un momento cómo calcular la diferencia entre dos vectores:

Podemos proceder de la siguiente manera. Primero, deja pag siendo un cierto punto en nuestra línea r. Luego, calculamos la diferencia entre pag y q, que resultará en un vector paralelo a v (por definición, es la dirección de nuestra línea recta r), pero desplazada por algún valor. Por eso:

Dónde q es el nuevo origen de nuestro vector. En la imagen de arriba, puedes ver que t fue positivo y mayor que 1 (ya que el vector resultante tiene la misma dirección pero mayor magnitud). La nueva ecuación será:

Donde el valor de cambio es igual al nuevo origen.

Ahora que tenemos clara la geometría de una línea, vayamos hacia la de un plano.

Aviones

Un avión es un objeto en el espacio caracterizado por dos características:

  • Orientación: es una línea recta ortogonal al plano.

Para cada orientación, hay un número infinito de planos:

Por lo tanto, necesitamos el segundo elemento para aislar solo uno de ellos.

  • punto: es el punto donde la recta cruza el plano y lo llamaremos q.

Ahora bien, ¿cómo podemos definir la ecuación de un avión? Analicemos la naturaleza de los puntos que se encuentran en ese plano:

Independientemente de sus posiciones, la diferencia entre cada uno de ellos y el punto de cruce q tiene que ser ortogonal a la orientación v. Por tanto, debido a la ortogonalidad, sabemos que, considerando el punto genérico pag:

Si expandimos la ecuación anterior obtenemos:

Tenga en cuenta que, si el componente en el corchete rojo es nulo, el plan cruzará el origen.

Vamos a practicar

Me gustaría concluir este artículo con un ejemplo muy sencillo que le ayudará a visualizar la tarea y utilizar las nociones de líneas rectas y planos.

Imagine que se nos proporciona la ecuación de un plano, su orientación v y las coordenadas de un punto k que pertenece a ese plan.

Queremos calcular las coordenadas del punto simétrico de k, k ‘, con respecto a nuestro avión. La idea es la siguiente:

  • Calcule la ecuación paramétrica de la línea recta. r cruce k y siendo ortogonal al plano:
  • Encontrar el valor del parámetro t para el punto donde el plano y la línea tienen la intersección:
  • Duplique el valor obtenido para t de modo que podamos obtener el valor de k ‘(Por supuesto, q está igualmente distante de k y k ‘):

Consideraciones finales

Visualizar los objetos que está manejando es un paso muy importante para tener una comprensión completa de ellos. Sin embargo, en el mundo real, las variables de un problema tienden a diferir de las conocidas Largo ancho alto. En escenarios económicos, se nos pide que tratemos con cientos de variables, que pueden ser bienes, naciones, mercados, elementos macroeconómicos, etc. En esos casos, no es posible visualizar lo que estás manejando, sin embargo, tener la idea al menos en un ambiente 3D hará que esos razonamientos sean más fáciles e intuitivos.

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