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Explicación de los conceptos de probabilidad: Introducción

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Explicación de los conceptos de probabilidad: Introducción

Jonny Brooks-Bartlett

30 de diciembre de 2017·7 min de lectura

He leído muchos textos y artículos sobre diferentes aspectos de la teoría de la probabilidad a lo largo de los años y cada uno parece requerir diferentes niveles de conocimientos previos para comprender lo que está sucediendo. De ninguna manera soy un experto en el campo, pero sentí que podía contribuir escribiendo lo que espero que sea una serie de artículos accesibles que expliquen varios conceptos de probabilidad. Esta es la primera de la serie y será una introducción a algunas definiciones fundamentales.

Definiciones y notación

La probabilidad es a menudomin asociado con al menos un evento. Este evento puede ser cualquier cosa. Los ejemplos de juguetes de eventos incluyen lanzar un dado o sacando una bola de color de una bolsa. En estos ejemplos, el resultado del evento es aleatorio (no puede estar seguro del valor que mostrará el dado cuando lo lance), por lo que la variable que representa el resultado de estos eventos se llama variable aleatoria (a menudo abreviado como RV).

A menudo nos interesa conocer la probabilidad de que una variable aleatoria adquiera un valor determinado. Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que cuando lance un dado de 6 caras, caiga en un 3? La palabra «regular» es importante aquí porque nos dice que la probabilidad de que el dado caiga en cualquiera de las seis caras; 1, 2, 3, 4, 5 y 6 es igual. Ahora intuitivamente, podría decirme que la respuesta es 1/6. ¡Correcto! Pero, ¿cómo escribimos esto matemáticamente? Bueno, en primer lugar, debemos entender que la variable aleatoria aquí es el resultado del evento relacionado con lanzar el dado. Normalmente, las variables aleatorias se denotan con letras mayúsculas, aquí las denotaremos con X. Por lo tanto, queremos saber cuál es la probabilidad de que X = 3. Pero como los matemáticos son vagos a la hora de escribir cosas, la abreviatura de preguntando «¿cuál es la probabilidad?» es usar la letra P. Por lo tanto, podemos escribir «¿cuál es la probabilidad de que cuando lance un dado de 6 caras justo, caiga en un 3?» matemáticamente como «P (X = 3)»

Los 3 tipos de probabilidad

Anteriormente se introdujo el concepto de variable aleatoria y alguna notación sobre probabilidad. Sin embargo, la probabilidad puede volverse bastante complicada. Quizás lo primero que hay que entender es que existen diferentes tipos de probabilidad. Puede ser marginal, articulación o condicional.

Probabilidad marginal: Si A es un evento, entonces la probabilidad marginal es la probabilidad de que ocurra ese evento, P (A). Ejemplo: Suponiendo que tenemos un mazo de naipes tradicionales, un ejemplo de probabilidad marginal sería la probabilidad de que una carta extraída de un mazo sea roja: P (rojo) = 0.5.

Probabilidad conjunta: La probabilidad de la intersección de dos o más eventos. Visualmente, es la intersección de los círculos de dos eventos en un diagrama de Venn (ver figura a continuación). Si A y B son dos eventos, entonces la probabilidad conjunta de los dos eventos se escribe como P (A B). Ejemplo: la probabilidad de que una carta extraída de un mazo sea roja y tenga el valor 4 es P (rojo y 4) = 2/52 = 1/26. (Hay 52 cartas en un paquete de naipes tradicionales y las 2 rojas son los corazones y los diamantes). Veremos este ejemplo con más detalle más adelante.

La probabilidad condicional: La probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra algún evento dado que sabemos que ya han ocurrido otros eventos. Si A y B son dos eventos, entonces la probabilidad condicional de que ocurra A dado que B ha ocurrido se escribe como P (A | B). Ejemplo: la probabilidad de que una carta sea un cuatro dado que hemos sacado una roja es P (4 | roja) = 2/26 = 1/13. (Hay 52 cartas en el paquete, 26 son rojas y 26 son negras. Ahora, como ya hemos elegido una tarjeta roja, sabemos que solo hay 26 cartas para elegir, por lo que el primer denominador es 26).

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Diagrama de Venn que muestra el «espacio» de los resultados de 2 eventos A y B. En el diagrama, los 2 eventos se superponen. Esta superposición representa la probabilidad conjunta, es decir, la probabilidad de que ocurran tanto el evento A como el B. Si no hubiera superposición entre los eventos, la probabilidad conjunta sería cero.

La regla general de la multiplicación es una hermosa ecuación que vincula los 3 tipos de probabilidad:

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A veces, distinguir entre la probabilidad conjunta y la probabilidad condicional puede ser bastante confuso, por lo que, utilizando el ejemplo de elegir una carta de un mazo de cartas, intentemos recalcar la diferencia.

En el caso en el que queremos encontrar la probabilidad de elegir una carta que es roja y un 4, es decir, la probabilidad conjunta P (rojo y 4) Quiero que se imaginen tener las 52 cartas boca abajo y elegir una al azar. De esas 52 cartas, 2 de ellas son rojas y 4 (4 de diamantes y 4 de corazones). Entonces, la probabilidad conjunta es, por lo tanto, 2/52 = 1/26

En el caso en el que queremos encontrar la probabilidad de elegir una tarjeta que es 4 dado que sé que la tarjeta ya es roja, es decir, la probabilidad condicional, P (4 | rojo), Quiero que vuelvas a imaginar tener las 52 cartas. Sin embargo, antes de elegir una carta al azar, clasifica las cartas y selecciona las 26 rojas. Ahora coloque esas 26 cartas boca abajo y elija una carta al azar. Nuevamente, 2 de esas tarjetas rojas son 4, por lo que la probabilidad condicional es 2/26 = 1/13

Alternativamente, si prefiere las matemáticas, podemos usar la regla de multiplicación general que definimos anteriormente para calcular la probabilidad conjunta. Primero reorganizamos para hacer la probabilidad conjunta, P (A B), el tema de la ecuación (en otras palabras, pongamos P (A B) en el lado izquierdo del signo igual y poner todo lo demás a la derecha). Después de reorganizar obtenemos P (A B) = P (A | B) ✕ P (B). Sea A el evento de que la tarjeta sea un 4 y B es el evento de que la tarjeta sea roja. P (A | B) = 1/13 como dijimos anteriormente y P (B) = 1/2 (la mitad de las cartas son rojas). Por lo tanto P (A B) = 1/13 ✕ 1/2 = 1/26.

Reglas de probabilidad: ‘y’ y ‘o’

Ya hemos visto el escenario «y» disfrazado de probabilidad conjunta, sin embargo, todavía no sabemos cómo calcular la probabilidad en el escenario «y». Así que veamos un ejemplo. Supongamos que tenemos dos eventos: el evento A: lanzar una moneda justa y el evento B: lanzar un dado justo. Quizás nos interese conocer la probabilidad de sacar un 6 y que la moneda caiga cara. Entonces, para calcular la probabilidad conjunta de sacar un 6 y las caras de la moneda, podemos reorganizar la regla general de multiplicación anterior para obtener P (A B) = P (A | B) ✕ P (B). Sabemos que el evento A es lanzar una moneda y B lanzar un dado. Entonces, el término P (A | B) pregunta «¿Cuál es la probabilidad de que la moneda caiga cara, dado que he sacado un 6 en el dado? Aquí es donde entendemos intuitivamente que el resultado de lanzar la moneda no depende del lanzamiento del dado. Se dice que los eventos son independiente. En este escenario, el resultado del lanzamiento de la moneda sería el mismo sin importar lo que lancemos en el dado. Matemáticamente expresamos esto como P (A | B) = P (A). Por tanto, cuando el los eventos son independientes, la probabilidad conjunta es solo el producto de las probabilidades marginales individuales de los eventos: P (A ∩ B) = P (A) ✕ P (B). Entonces, P (la moneda cae cara y saca un 6) = P (A = cara, B = 6) = 1/2 ✕ 1/6 = 1/12.

Observe que escribí P (A = cabezas, B = 6). La coma entre los eventos es una abreviatura de probabilidad conjunta (verá esto escrito en la literatura).

Cabe señalar que en muchos escenarios del mundo real se supone que los eventos son independientes incluso cuando este no es el caso en la realidad. Esto se debe principalmente a que hace que las matemáticas mucho más fácil. La ventaja es que los resultados suelen ser muy útiles. El método de Naive Bayes es posiblemente el ejemplo más común de esto en la ciencia de datos y generalmente da resultados bastante buenos en problemas de clasificación de texto.

Con la regla «y» tuvimos que multiplicar las probabilidades individuales. Cuando estamos en el escenario ‘o’ tenemos que sume las probabilidades individuales y reste la intersección. Matemáticamente escribimos esto como P (A B) = P (A) + P (B) – P (A B). ¿Por qué tenemos que hacer esto, preguntas? Bueno, vuelve al diagrama de Venn en la figura anterior. Si sumamos el círculo para A y el círculo para B, entonces significa que estamos agregando la intersección dos veces. Por lo tanto, necesitamos restar la intersección.

Así que cambiemos nuestro ejemplo anterior para encontrar la probabilidad de sacar un 6 o que la moneda caiga cara. Esto es P (cara de caída de moneda o sacando un 6) = P (A = cara B = 6) = 1/2 + 1/6 – 1/12 = 6/12 + 2/12 – 1/12 = 7/12

Tenga en cuenta que el El símbolo se conoce como ‘unión’ y se usa en el escenario ‘o’.

Hay ocasiones en las que no tenemos que restar la intersección. Esto sucede cuando los dos círculos del diagrama de Venn no se superponen. Cuando los círculos de dos eventos no se superponen, decimos que estos eventos son mutuamente excluyentes. Esto implica que la intersección es cero, escrito matemáticamente como P (A ∩ B) = 0. Hagamos un ejemplo que cubra este caso. Suponga que tiramos un dado y queremos saber la probabilidad de sacar un 5 o un 6. Estos eventos son mutuamente excluyentes porque no puedo sacar un 5 y un 6. Por lo tanto, sus círculos en un diagrama de Venn no se superponen. Entonces, la probabilidad de sacar un 5 o un 6 es igual a 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 (no hemos restado nada).

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Gracias por llegar tan lejos. En todo caso, espero que mi divagación haya sido accesible para usted incluso si no ha aprendido nada nuevo. Si hay algo que no está claro o he cometido algunos errores en lo anterior, no dude en dejar un comentario. En publicaciones futuras de esta serie, analizaré algunos conceptos más avanzados. La próxima publicación explicará la máxima probabilidad y trabajará con un ejemplo.

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